Gauss' formulation in the Disquisitiones Arithmeticae

Định lý có thể phát biểu gọn hơn sử dụng ký hiệu Legendre:

( a p ) = { 1 i f   a   i s   a   s q u a r e   m o d u l o   p , 0 i f   p   d i v i d e s   a , − 1 o t h e r w i s e , {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {if} \ a\ \mathrm {is\ a\ square\ modulo\ } p,\\0&\mathrm {if\ } p\ \mathrm {divides\ } a,\\-1&\mathrm {otherwise,} \end{matrix}}\right.}

Định lý phát biểu rằng nếu p và q là hai số nguyên tố lẻ thì sử dụng kết quả của Gauss:

( p q ) = ( q p ) {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q}{p}}\right)} nếu p có dạng 4k + 1 ( p q ) = ( − q p ) {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {-q}{p}}\right)} nếu p có dạng 4k + 3

Điều này cũng tương đương với dạng thông dụng sau:

( p q ) = ( q p ) {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q}{p}}\right)} nếu một trong hoặc cả p và q có dạng 4k + 1 ( p q ) = − ( q p ) {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=-\left({\frac {q}{p}}\right)} nếu cả p và q có dạng 4k + 3

Do ( p − 1 ) ( q − 1 ) / 4 {\displaystyle (p-1)(q-1)/4} lẻ khi và chỉ khi nếu cả hai số nguyên tố đều có dạng 4k + 3, chúng ta có một dạng biểu diễn thông dụng khác:

( p q ) ( q p ) = ( − 1 ) ( p − 1 ) ( q − 1 ) / 4 {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}}

Đây được gọi là luật tương hỗ bậc hai chính, so với hai luật phụ sau (thật ra, định lý): với bất khì số nguyên tố lẻ p nào,

( − 1 p ) = ( − 1 ) ( p − 1 ) / 2 , {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2},}

và

( 2 p ) = ( − 1 ) ( p 2 − 1 ) / 8 . {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}.}

Luật tương hỗ bậc hai chính mở rộng thành ký hiệu Jacobi: với các số nguyên dương lẻ m và n nguyên tố cùng nhau,

( m n ) ( n m ) = ( − 1 ) ( m − 1 ) ( n − 1 ) / 4 {\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}} .

Chú ý, điều này giống với luật tương hỗ bậc hai chính ngoại trừ tham số không nhất thiết là số nguyên tố nữa.Các luật phụ cho ký hiệu Legendre cũng đúng cho ký hiệu Jacobi, với số nguyên tố lẻ p thay bằng một số nguyên dương lẻ m.